ББГКІ (Боголюбов - Борн - Грін - Кірквуд - Іован) ієрархія рівнянь - послідовність еволюційних рівнянь, якими описується еволюція стану систем багатьох частинок.
Стан класичних систем багатьох частинок в момент часу \(t\in\mathbb{R}\) описується послідовністю \[ F(t)=(1,F_1(t,x_1),\ldots, F_s(t,x_1,\ldots,x_s),\ldots) \] редукованих (\(s\)-частинкових) функцій розподілу \(F_s(t)\) значень координат та імпульсів \(x_i\equiv(q_i,p_i)\in\mathbb{R}^3\times\mathbb{R}^3,\,i=1,\ldots,s\) групи з \(s\) частинок. Для класичних систем частинок з парним потенціалом взаємодії ієрархія рівнянь ББГКІ має вигляд \[ \frac{d}{dt}F(t)=\mathcal{L}^\ast F(t)+\big[\mathfrak{a},\mathcal{L}^\ast\big]F(t), \] де символом \(\big[ \cdot , \cdot \big]\) позначено комутатор оператора Ліувілля \(\mathcal{L}^\ast\) та аналога оператора знищення квантової теорії поля \[ (\mathfrak{a}f)_{s}(x_1,\ldots,x_s)\doteq \int_{\mathbb{R}^3\times\mathbb{R}^3}f_{s+1}(x_1,\ldots,x_s,x_{s+1})dx_{s+1}. \]
Оператор Ліувілля має таку покомпонентну структуру \[ \mathcal{L}^{*}_{s} = \sum_{j=1}^{s} \mathcal{L}^{\ast}(j) + \sum_{j_{1} \lt j_{2}=1}^{s} \mathcal{L}^{\ast}_{\mathrm{int}}(j_{1},j_{2}), \] та у просторі послідовностей інтегрованих функцій визначається такими операторами: генератором рівняння Ліувілля \(s\) частинок що не взаємодіють \[ \sum_{j=1}^{s}\mathcal{L}^{\ast}(j)f_{s}\doteq - \sum_{j=1}^{s}\langle p_j,\frac{\partial}{\partial q_j}\rangle f_{s} \] де символом \(\langle \cdot, \cdot \rangle\) позначено скалярний добуток векторів, та оператором \[ \sum_{j_{1} \lt j_{2}=1}^{s} \mathcal{L}^{\ast}_{\mathrm{int}}(j_{1},j_{2})f_{s} \doteq \sum_{j_{1} \lt j_{2}=1}^{s} \langle \frac{\partial}{\partial q_{j_{1}}} \Phi(q_{j_{1}}-q_{j_{2}}), (\frac{\partial}{\partial p_{j_{1}}}-\frac{\partial}{\partial p_{j_{2}}}) \rangle f_{s}, \] який визначається парним потенціалом \(\Phi\) взаємодії частинок. Отже, покомпонентна друга частина генератора ієрархії рівнянь ББГКІ має такий вигляд \[ \bigl(\bigl[\mathfrak{a},\mathcal{L}^*\bigr]f\bigr)_{s}(x_1,\ldots,x_s) = \sum_{i=1}^s \int\limits_{\mathbb{R}^{3}\times\mathbb{R}^{3}} dx_{s+1} \mathcal{L}^*_{\mathrm{int}}(i,s+1) f_{s+1}(x_1,\ldots,x_{s+1}). \] Таким чином, коефіцієнти генератора ієрархії еволюційних рівнянь ББГКІ визначаються функцією Гамільтона, яка характеризує системи багатьох частинок, та дужками Пуассона.
Стан квантових систем багатьох частинок описується послідовністю \(F(t)=(1,F_1(t),\ldots,F_n(t),\ldots)\) редукованих (\(n\)-частинкових) самоспряжених операторів густини (статистичних операторів), які визначені на відповідних $n$-частинкових гільбертових просторах. Відповідно, ББГКІ ієрархія рівнянь для квантових систем має вигляд \[ \frac{d}{dt}F(t) = \mathcal{N}^\ast F(t)+\big[\mathfrak{a},\mathcal{N}^\ast\big]F(t), \] де в просторі послідовностей ядерних операторів визначено аналог оператора знищення квантової теорії поля \((\mathfrak{a}f)_{n}\doteq\mathrm{Tr}_{n+1}f_{n+1}\), а символом \(\mathrm{Tr}_{n+1}\) позначено частинний слід оператора. Оператор фон Неймана $\mathcal{N}^\ast$ систем частинок з парним потенціалом взаємодії має таку покомпонентну структуру \[ \mathcal{N}^{\ast}_n = \sum_{j=1}^{n}\mathcal{N}^{\ast}(j) + \sum_{j_{1} \lt j_{2}=1}^{n} \mathcal{N}^{\ast}_{\mathrm{int}}(j_{1},j_{2}), \] де оператор \(\sum_{j=1}^{n}\mathcal{N}^{\ast}(j)\) є генератором еволюційного рівняння фон Неймана \(n\) частинок що не взаємодіють, оператор \(\mathcal{N}^{\ast}_{\mathrm{int}}\) визначається оператором \(\Phi\) парного потенціалу взаємодії \[ \mathcal{N}^{\ast}_{\mathrm{int}}(j_{1},j_{2})f_n \doteq -i\,(\Phi(j_{1},j_{2})f_n-f_n\Phi(j_{1},j_{2})), \] та використана система одиниць де \(h={2\pi\hbar}=1\) - постійна Планка, а \(m=1\) -- маса частинки. Отже, покомпонентна друга частина генератора ієрархії рівнянь ББГКІ квантових систем має такий вигляд \[ \bigl(\bigr[\mathfrak{a},\mathcal{N}^\ast\bigr]f\bigr)_{n} = \sum_{i=1}^n\, \mathrm{Tr}_{n+1}\,\mathcal{N}^\ast_{\mathrm{int}}(i,n+1)f_{n+1}. \] В аналогічний спосіб ієрархія рівнянь ББГКІ формулюється для квантових систем багатьох фермі та бозе-частинок.
Для опису кореляцій станів систем багатьох частинок використовуються ієрархії нелінійних еволюційних рівнянь для кумулянтів редукованих (\(s\)-частинкових) функцій розподілу та редукованих (\(s\)-частинкових) операторів густини.
Еволюція систем багатьох частинок в еквівалентний спосіб описується як в термінах станів, так й спостережуваних, які задовольняють ієрархіям еволюційних рівнянь двоїстим до ієрархій рівнянь ББГКІ. Ієрархія еволюційних рівнянь для послідовності \(B(t)=(B_0,B_1(t,x_1),\ldots,\) \(B_s(t,x_1,\ldots,x_s),\ldots)\) редукованих (\(s\)-частинкових) спостережуваних \(B_s(t)\), до якої ієрархія рівнянь ББГКІ є двоїстою (дуальною) в сенсі функціоналу середніх значень спостережуваних, визначається такою послідовністю рекурсивних еволюційних рівнянь \[ \frac{d}{dt}B(t) = \mathcal{L}B(t)+\big[\mathcal{L},\mathfrak{a}^+\big]B(t), \] де символом \(\bigl[ \cdot, \cdot \bigr]\) позначено комутатор оператора Ліувілля \(\mathcal{L}\) та аналога оператора народження квантової теорії поля \[ (\mathfrak{a}^{+}b)_{s}(x_1,\ldots,x_s) \doteq \sum_{j=1}^s\,b_{s-1}((x_{1},\ldots,x_{s}) \setminus (x_j)). \] Оператор \(\mathcal{L}^{\ast}\), який визначено вище, є спряженим в сенсі функціоналу середніх значень спостережуваних до оператора Ліувілля \(\mathcal{L}\)визначеного на послідовностях неперервних функцій, а саме, \(\mathcal{L}=-\mathcal{L}^{\ast}\). Отже, покомпонентна друга частина генератора ієрархії еволюційних рівнянь для редукованих спостережуваних має такий вигляд \[ (\big[\mathcal{L},\mathfrak{a}^+\big]b)_{s}(x_1,\ldots,x_s) = \sum_{j_1\neq j_{2}=1}^s\mathcal{L}_{\mathrm{int}}(j_1,j_{2})b_{s-1}((x_1,\ldots,x_s)\setminus x_{j_1}). \]
Аналогічно за структурою визначається послідовність рекурсивних еволюційних рівнянь для редукованих операторів спостережуваних квантових систем багатьох частинок.
Для систем скінченого числа класичних частинок ББГКІ ієрархія рівнянь еквівалентна рівнянням Ліувілля, а для систем скінченого числа квантових частинок - рівнянням фон Неймана (квантовим рівнянням Ліувілля). Стаціонарні розв'язки ББГКІ ієрархії рівнянь для станів описують рівноважні стани систем багатьох частинок. У випадку ієрархій еволюційних рівнянь для спостережуваних систем скінченого числа частинок такі рекурсивні еволюційні рівняння еквівалентні, відповідно,рівняням Ліувілля для спостережуваних класичних систем та рівнянням Гайзенберга для квантових систем. Асимптотичні властивості ієрархій еволюційних рівнянь в скейлінгових (маштабних) границях описуються кінетичними рівняннями, наприклад, Больцмана рівнянням, та рівняннями суцільного середовища, наприклад, Ейлера рівняннями або Нав'є-Стокса рівняннями.
Вперше ієрархія рівнянь ББГКІ була сформульована для класичних систем частинок в працях [1], [2], [3], [4]. Математичну теорію ієрархій рівнянь ББГКІ було розвинуто в 90-тих роках XX ст. [5], [6]. Про сучасні досягнення теорії ієрархій рівнянь ББГКІ та математичними напрямами її розвитку можна ознайомитись в огляді [7]. На час написання цієї статті ієрархії еволюційних рівнянь для станів та спостережуваних квантових систем багатьох частинок є фундаментальними рівняннями (законами фізичних теорій), якими описують природу речей.
Ієрархія еволюційних рівнянь ББГКІ зображена на ювілейній двогривневій монеті, яка була викарбувана на честь М. М. Боголюбова.