Біноміальний розподіл з параметрами \(n,p\) - це дискретний ймовірнісний розподіл кількості успіхів у серії з \(n\) незалежних випробувань Бернуллі, з ймовірністю успіху \(p\) кожне. Він позначається через \(B(n,p)\). Біноміальною випадковою величиною називають випадкову величину, що має біноміальний розподіл. Біноміальний розподіл зосереджений на множині \(\{0,1,2,\ldots, n\}\) та має вигляд

\[ p_k = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}, \]

де \(\binom{n}{k} = \frac{n!}{k! (n-k)!}\) - це біноміальний коефіцієнт (звідки і походить назва розподілу). Коректність визначення біноміального розподілу випливає із формули Біному Ньютона:

\[ p_0 + p_1 + \ldots + p_n = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k} = (p + 1-p)^n = 1. \]

Основні характеристики

Носій розподілу	\(\{0,1,2,\ldots,n\}\)
Математичне сподівання	\(np\)
Медіана	\(\lfloor np \rfloor\) або \(\lceil np \rceil\)
Мода	\(\lfloor (n+1)p \rfloor\) або \(\lceil (n+1)p \rceil - 1\)
Дисперсія	\(np(1-p)\)
Генератриса	\((1-p + pz)^n\)
Характеристична функція	\((1-p + pe^{it})^n\)
Твірна функція моментів	\((1-p + pe^t)^n\)

Сума незалежних біноміальних випадкових величин

Якщо \(\xi_1\) та \(\xi_2\) незалежні біноміальні величини з параметрами \((n,p)\) та \((m,p)\) відповідно, то їх сума має біноміальний розподіл з параметрами \((n+m, p)\).

Апроксимація

Гранична теорема Пуассона. Нехай маємо послідовність дійсних чисел \(\{p_n, n\ge 0\} \subset [0,1]\) таку, що

\[ n p_n \to \lambda, n\to \infty, \]

для деякої сталої \(\lambda > 0\). Тоді для всіх цілих, невід'ємних \(k\)

\[ \binom{n}{k} p^k_n (1-p_n)^{n-k} \to {e^{-\lambda} \lambda^k\over k!}, k\to \infty. \]

Гранична теорема Муавра-Лапласа. Розглянемо послідовність біноміальних випадкових величин \(\{\nu_n, n\ge 0\}\) з розподілами \(B(n, p), n\ge 0\) відповідно. Припустимо, що числа \(n\) та \(k\) одночасно прямують до нескінченності так, що нормоване, та центроване значення \(k\) є обмеженим

\[ x_{nk} = {k - np\over \sqrt{np(1-p)}} = O(1),\ n,k\to \infty. \]

Тоді має місце асимптотична еквівалентність

\[ \mathsf{P}(\nu_n = k) \sim {1\over \sqrt{np(1-p)}} \varphi(x_{nk}), n,k\to \infty, \] де функція \(\varphi(x) = {1\over \sqrt{2\pi}} \exp\left(-{x^2\over 2}\right)\), \(x\in\mathbb{R}\) - це щільність стандартного нормального розподілу.

Застосування

Біноміальний розподіл широко застосовується у статистиці, фізиці, соціології, психології, фінансах та інших прикладних галузях. Одним із типових застосувань біноміального розподілу є задача контролю якості (див. Приклад 2).

Історія

Вважається, що першим біноміальний розподіл розглядав швейцарський математик Якоб Бернуллі (1655-1705), який довів, що ймовірність \(k\) успіхів у серії з \(n\) повторюваних випробувань дорівнює \(k\)-тому доданку біноміального розкладу \((p + (1-p))^n\), цей результат було опубліковано посмертно, в 1713 році в роботі [1].

Приклади

1. Розглянемо серію з \(10\) підкидань симетричного кубика, де успіхом вважатимемо випадіння шістки. Тоді ймовірність успіху \(p=1/6\), а ймовірність того, що шістка випаде рівно \(k\) разів має вигляд

\(k\)	\(p_k\)	наближене числове значення
0	\(\binom{10}{0} \left({1\over 6}\right)^0 \left({5\over 6}\right)^{10}\)	\(0.1615\)
1	\(\binom{10}{1} \left({1\over 6}\right)^1 \left({5\over 6}\right)^9\)	\(0.3230\)
2	\(\binom{10}{2} \left({1\over 6}\right)^2 \left({5\over 6}\right)^8\)	\(0.2907\)
3	\(\binom{10}{3} \left({1\over 6}\right)^3 \left({5\over 6}\right)^7\)	\(0.1550\)
4	\(\binom{10}{4} \left({1\over 6}\right)^4 \left({5\over 6}\right)^6\)	\(0.0543\)
5	\(\binom{10}{5} \left({1\over 6}\right)^5 \left({5\over 6}\right)^5\)	\(0.0130\)
6	\(\binom{10}{6} \left({1\over 6}\right)^6 \left({5\over 6}\right)^4\)	\(0.0022\)
7	\(\binom{10}{7} \left({1\over 6}\right)^7 \left({5\over 6}\right)^3\)	\(0.0005\)
8	\(\binom{10}{8} \left({1\over 6}\right)^8 \left({5\over 6}\right)^2\)	\(0.00002\)
9	\(\binom{10}{9} \left({1\over 6}\right)^9 \left({5\over 6}\right)^1\)	\(0.0000008\)
10	\(\binom{10}{10} \left({1\over 6}\right)^{10} \left({5\over 6}\right)^0\)	\(0.00000002\)

2. Задача контролю якості. Припустимо, деякий виріб має ймовірність браку \(1\)%. Яка ймовірність того, що в серії з \(1000\) виробів буде не більше \(15\) бракованих?

Для обчислення цієї ймовірності можна скористатися біноміальним розподілом і отримати відповідь:

\[ p = \sum_{k=0}^{15} \binom{1000}{k} 0.01^k 0.99^{1000-k} \approx 0.9521. \]

Таким чином, шукана ймовірність складає \(95.21\)%.