Термін "біфуркація" застосовується для описання суттєвої якісної зміни у динамічній системі (що описує природничі або соціальні процеси чи явища) при варіації певних зовнішніх параметрів.

Поняття біфуркації було запропоновано французьким математиком Анрі Пуанкаре у кінці XIX сторіччя. Воно означає розгалуження або роздвоєння від латинських слів: bi - два та furca - вилка.

Опишемо біфуркації з точки зору математики.

Розглянемо автономну систему звичайних диференціальних рівнянь (динамічну систему з неперервним часом) \begin{equation}\label{equ.ode} \frac{dx}{dt}=f(x, \mu), \quad x\in\mathbb{R}^n, \quad \mu\in\mathbb{R}^m, \tag{1} \end{equation} або систему різницевих рівнянь (систему з дискретним часом) \begin{equation}\label{equ.discr} x_{i+1}=f(x_i,\mu), \quad x_i\in\mathbb{R}^n, \quad \mu\in\mathbb{R}^m, \tag{2} \end{equation} де \(f\) є гладкою функцією своїх змінних та параметрів, розмірності \(n, m\in\mathbb{N}\), дискретні моменти часу \(i\in\mathbb{Z}\). Важливо відзначити, що (векторний) параметр \(\mu\) є зовнішнім по відношенню до динамічної системи, тобто він ніяк не залежить від її змінних \(x=x(t)\) і, отже, можна вважати, що розглядаються окремі динамічні системи при різних значеннях \(\mu\).

Біфуркація відбувається у системі \eqref{equ.ode} (або \eqref{equ.discr}) в момент \(\mu=\mu_0\), якщо існують значення параметра \(\mu=\mu_1\), як завгодно близькі до \(\mu_0\), з динамікою, топологічно нееквівалентною динаміці при \(\mu_0\) (тобто не існує гомеоморфізму між двома випадками системами \eqref{equ.ode} при \(\mu=\mu_0\) та \(\mu=\mu_1\)).

Термін біфуркація якраз натякає на те, що система має саме "два" якісно відмінні динамічні стани "до" та "після" критичного (біфуркаційного) значення параметру. Структура фазового простору (простору станів) зазнає суттєвої якісної перебудови "у момент" біфуркації і також відрізняється від обох станів "до" та "після". Зокрема, внаслідок біфуркацій можуть виникати/зникати положення рівноваги, періодичні орбіти, гомо/гетероклінічні цикли, квазі-періодичні та хаотичні траєкторії, а також може змінюватись структура та стійкість згаданих динамічних об'єктів.

Крім звичайних диференціальних та різницевих рівнянь (згаданих вище), біфуркації також досліджуються у динамічних системах інших типів таких, як рівняння з частинними похідними, з запізненням, з імпульсною дією, інтегральні, інтегро-диференціальні, стохастично-диференціальні, з шумом, функціонально-диференціальні, диференціальні включення, марківські процеси та інші гібридні типи систем, що включають похідні, інтеграли та дискретні за часом співвідношення між змінними.

Теорія біфуркацій - галузь сучасної математики, присвячена виявленню, дослідженню та описанню універсальних типів якісних переходів у динамічних системах, а також застосуванню математичних методів для описання біфуркаційних сценаріїв у природничих процесах та явищах при варіації зовнішніх параметрів.

Однією з основних цілей теорії біфуркацій є створення карт простору параметрів або біфуркаційних діаграм, що розбивають простір параметрів \(\mu\) на області топологічної еквівалентності системи. Біфуркації відбуваються у точках (або на лініях чи поверхнях при \(\mu\ge 2\)), які не лежать всередині однієї з цих областей. У межах вказаних областей динамічні системи є структурно стійкими, тобто такими, що зберігають свою якісну структуру при малих збуреннях.

Найбільш типовими та добре вивченими є наступні біфуркації: сідло-вузлова, транскритична, вилкоподібна, Гопфа, гомоклінічна, складки граничних циклів, сідло-вузлова граничного циклу, сідло-сідло зв'язна (гетероклінічна), подвоєння періоду, народження тору (Неймарка-Сакера), катастрофи блакитного неба, сідло-фокусу Шильнікова, клиноподібна, Такенса-Богданова, Баутіна, сідло-вузлова петлі сепаратриси, гомоклінічних дотиків многовидів, руйнування симетрій. При дослідженні виникнення хаотичних атракторів здебільшого спостерігаються нескінченні каскади біфуркацій різних типів. Біфуркації бувають локальними та глобальними, мають розмірності та корозмірності, відбуваються у системах з дискретним та неперервним часом, у фазових просторах скінченних та нескінченних розмірностей, а також не многовидах різних топологічних типів.

Теорія біфуркацій тісно пов'язана з іншими математичними теоріями: коливань, стійкості, усереднень, резонансів, хаосу, фракталів, синхронізації, симетрій, катастроф та іншими. Аналіз біфуркацій у динамічних системах часто припускає застосування методів топології та диференціальної геометрії, а також чисельних методів досліджень.

Математична теорія біфуркацій широко використовується у всіх без винятку природничих та інженерних науках, а також у економіці та соціології.

Більш детально з теорією біфуркацій та суміжними математичними напрямками можна ознайомитись у підручниках [1]-[7].