Рівняння Больцмана – нелінійне кінетичне рівняння нерівноважної статистичної механіки було сформульоване Людвігом Больцманом у 1872 році з еврестичних міркувань для систем багатьох класичних частинок із зіткненнями [1].

Рівняння Больцмана описує еволюцію густини функції розподілу ймовірності в фазовому просторі (стану) типової частинки системи багатьох точкових частинок. Одночастинкова функція розподілу ймовірності \(f(t)\) така, що вираз \(f(t,q,p)dq dp\) визначає ймовірність значень координати \(q\) та імпульсу \(p\) частинки в момент часу \(t\) в нескінченно малих об’ємах \(dq\) та \(dp\) фазового простору в околі точки з координатою \(q\) та імпульсом \(p\). Кінетисне рівняння Больцмана при для частинок одиничної маси має такий вигляд [2], [3], [4]: \begin{align*} \frac{\partial}{\partial t} f(t,q,p) &= - \left\langle p, \frac{\partial}{\partial t} f(t,q,p) \right\rangle + \\ & \quad + \int_{S_{+}^2} \int_{\mathbb{R}^{3}} d\eta d\langle \eta, p-\tilde{p}^{*}\rangle \bigl( f(t,q,p^{*}) f(t,q,\tilde{p}^{*}) - f(t,q,p) f(t,q,\tilde{p}) \bigr), \end{align*} де \(\langle \cdot,\cdot\rangle\) - скалярний добуток, \(S^{2}_{+} = \{ \eta\in \mathbb{R}^3 \mid |\eta| = 1, \langle \eta, (p-\tilde{p}) \rangle >0 \}\) та \(p\), \(\tilde{p}^*\) - імпульси частинок до зіткнення [4]. Перший доданок у правій частині рівняння описує вільний рух частинки за інерцією, другий доданок називається інтегралом зіткнень й описує самовзаємодію частинки внаслідок пружного зіткнення.

Строге виведення рівняння Больцмана полягає в обґрунтуванні скейлінгової асимптотики Больцмана - Ґреда для розв’язку задачі Коші для ієрархії рівнянь ББҐКІ (Боголюбова-Борна-Ґріна-Кірквуда-Іована) [5] системи багатьох частинок із зіткненнями у випадку початкових станів, які задовольняють умову хаосу [2], [4].

Рівняння Больцмана та відомі його узагальнення [3] знайшли широке застосування при дослідженні складних систем, зокрема, з метою обґрунтування рівнянь гідродинаміки або для опису незворотних процесів у газах та плазмі. В останній час кінетичні рівняння використовуються до розв’язання проблем сучасної математичної біології, актуарної математики та в соціальних науках. Основна ідея використання таких рівнянь для моделювання складних систем обумовлена наявністю великої кількості їх взаємодіючих складових (частинок, клітин, сутностей або осіб), що визначає їх типові колективні властивості.