Йосип Ілліч Гіхман (Gikhman Iosif)

26.05.1918 - 30.07.1985

До 90-ї річниці від дня народження 26-го травня 2008 р. минає 90 років з дня народження Йосипа Ілліча Гіхмана - видатного математика і педагога. Цій даті присвячена конференція «Сучасні проблеми теорії ймовірностей та суміжні питання», що відбувається з 24-го по 26-е травня 2008 р. в м. Умані (Черкаська обл.) - місті, де народився Йосип Ілліч. В зв’язку з цією датою хочу висловити декілька думок про роль Й.І.Гіхмана в процесі становлення української ймовірнісної школи.

Важко переоцінити роль Бориса Володимировича Гнєденка у справі становлення української школи теорії ймовірностей. Саме з його появою в Україні - спочатку у Львові в 1945 р., а потім в Києві в 1949 р. - до занять тогочасними проблемами теорії ймовірностей та математичної статистики почало долучатись багато молоді - студентів та викладачів вищих навчальних закладів цих міст. Він був носієм духу знаменитої московської ймовірнісної школи, очолюваної в ті часи такими видатними математиками як А.М.Колмогоров та О.Я.Хінчин, і завдяки йому цей дух прищеплювався його молодим учням в Україні. Більше того, українська ймовірнісна школа, яка саме складалася, мала нагоду почерпнути безпосередньо від духу московської, коли сталося так, що три київські аспіранти Б.В.Гнєденка - В.С.Королюк, В.С.Михалевич та А.В.Скороход - були відправлені в 1953 р. на навчання до Московського університету в зв’язку з тим, що сам Борис Володимирович мав тоді їхати в довгострокове відрядження за кордон. І хоча кожен з цих трьох вже мав на той час задачу, поставлену Б.В.Гнєденком, московський період в їх житті безперечно вплинув на їх подальшу наукову творчість, а відтак, і на творчість їх учнів.

Отже, як бачимо, в становленні української ймовірнісної школи надзвичайно важливу роль відіграла московська ймовірнісна школа і, особливо, її яскравий представник - Б.В.Гнєденко.

Однак подібно до того, як ріка стає тим могутнішою, чим більше вбирає в себе різних струмків, так і наукова школа тим потужніша, чим більше різних ідей та напрямків вона в собі переплавляє. В цьому відношенні не можна не згадати таких предтеч Б.В.Гнєденка як М.П.Кравчук та С.Н.Бернштейн, які працювали в Україні до війни. Їх вплив на подальший розвиток ймовірнісних досліджень в нашій країні ще потребує докладного аналізу. Я ж хочу тут коротенько простежити за іншою, так би мовити, місцевою лінією розвитку української ймовірнісної школи. Ця лінія бере свій початок від деяких праць М.М.Боголюбова та М.М.Крилова, в яких досліджувалась гранична поведінка динамічної системи під впливом збурюючих факторів, що в границі переходили у випадковий процес типу «білого шуму» (див., зокрема, роботу цих авторів «Про рівняння Фоккера-Планка, що виводяться в теорії пертурбацій методом, основаним на спектральних властивостях пертурбаційного гамільтоніана». Вид-во Академії наук УРСР, Київ, 1939). Вказувалось, що в границі така система мусить описуватись випадковим процесом Маркова, густина ймовірності переходу якого є розв’язком відповідного рівняння Фоккера-Планка. До цього ж рівняння в 30-х роках прийшов і С.Н.Бернштейн (див. його роботу «Principles de la theorie des equations differentielles stochastique». Труды МИАН СССР, сер. мат., 5, 1933, с. 95-124), побудувавши певну рекурентну схему (названу ним, до речі, стохастичним диференціальним рівнянням) і поцікавившись граничним розподілом розв’язку. При цьому він не будував граничного процесу, а лише знаходив його розподіл в фіксований момент часу.

Що стосується згаданої вище роботи М.М.Крилова та М.М.Боголюбова, то в ній перехід до граничної динамічної системи не був обґрунтований з достатньою строгістю. Завдання - дати таке обґрунтування - було поставлене в 1939 р. М.М.Боголюбовим перед його учнем - Й.І.Гіхманом, який тоді щойно закінчив Київський університет. З цим завданням Й.І.Гіхман успішно справився і опублікував дві роботи («Про вплив випадкового процесу на динамічну систему» // Наукові записки мех.-мат.ф-ту Київського ун-ту, 5, 1941, с. 119-132 та «Про граничні переходи в динамічних системах» // Там же, с. 141-149), які склали основу його кандидатської дисертації «О влиянии случайного процесса на динамическую систему». До речі, захистив він цю дисертацію в Ташкенті в 1942 р., взявши для цього короткострокову відпустку з діючої армії.

Разом з тим Й.І.Гіхман не обмежився лише доведенням конкретних граничних теорем для розподілів розв’язків дограничних рівнянь, а й почав розмірковувати над проблемою конструювання граничного випадкового процесу. Ці розмірковування і привели його до поняття стохастичного диференціального рівняння, вперше сформульованого ним в замітці «Об одной схеме образования случайных процессов» // Докл. АН СССР, 1947, с. 961- 964 та викладеного детально в циклі робіт «О некоторых дифференциальных уравнениях со случайными функциями» // Укр. Матем. журнал, т.ІІ, № 3, 1950, с. 45-69; «К теории дифференциальных уравнений случайных процессов» // Там же, № 4, 1950, с. 37-63; «К теории дифференциальных уравнений случайных процессов ІІ» // Там же, т.ІІІ, 1951, с. 317-339.

Слід зауважити, що в 40-х роках минулого сторіччя ідея конструювання випадкових процесів з траєкторій простих процесів - вінерового процесу та пуассонової міри - так би мовити, «висіла в повітрі». Тут доречно буде згадати роботи японського математика К.Іто «Stochastic integral» // Proc. Imp. Acad., Tokyo, 20, 1944, p. 519-524; «On a stochastic integral equation» // Proc. Jap. Acad., № 1-4, 1946, р. 32-35; «On stochastic differential equations» // Mem. Am. Math. Soc., 4, 1951, p. 1-51, який узагальнив поняття вінерового інтеграла, а також інтеграла по пуассоновій мірі на випадкові функції і з допомогою цих понять побудував теорію стохастичних диференціальних рівнянь, які описували досить широкий клас процесів. Підхід К.Іто виявився напрочуд вдалим і тепер у всіх монографіях теорія стохастичних диференціальних рівнянь викладається на основі поняття стохастичного інтеграла Іто.

У Й.І.Гіхмана не було поняття стохастичного інтеграла такого типу, однак його поняття стохастичного диференціального рівняння також було цілком строгим і охоплювало навіть дещо ширший клас процесів, ніж у К.Іто. Це пов’язано з тим, що, по-перше, у Й.І.Гіхмана випадковий процес, який локально визначав прирости шуканого процесу, не обов’язково мав бути процесом з незалежними приростами, а міг бути, як тепер сказали б, квадратично інтегровним мартингалом з певного класу. По-друге, умова на коефіцієнт переносу у Й.І.Гіхмана не зводилась до умови Ліпшиця по просторовій змінній, а враховувала напрямок цього коефіцієнта (подібна умова була і у С.Н.Бернштейна).

Довівши теорему існування та єдиності розв’язку стохастичного диференціального рівняння, Й.І.Гіхман показав, що у випадку гладеньких коефіцієнтів розв’язок є диференційовною функцією початкових даних. Це дозволило йому для процесів без післядії (тобто, у випадку, коли згаданий вище мартингал є вінеровим процесом) вивести обернене рівняння Колмогорова для математичного сподівання функції відповідного розв’язку. Цим було доведено теорему існування розв’язку задачі Коші для параболічних рівнянь з гладенькими коефіцієнтами без жодних припущень про невиродженість матриці коефіцієнтів при других похідних (добре відомо, якою важливою є умова невиродженості згаданої матриці в аналітичній теорії параболічних рівнянь).

Цей результат мав революційний характер. Запропонований підхід суттєво відрізнявся від того інструментарію, яким користувались спеціалісти в області рівнянь в частинних похідних. Це відкривало шлях до проникнення чисто ймовірнісних методів у теорію диференціальних рівнянь в частинних похідних параболічного та еліптичного типів, а що стосується теорії таких рівнянь в нескінченновимірних просторах, то це був єдиний шлях до аналізу таких рівнянь - через відповідне стохастичне диференціальне рівняння (Ю.Л.Далецький та учні).

А.В.Скороход (не без впливу Й.І.Гіхмана) був одним з перших, хто оцінив всю силу методів теорії стохастичних диференціальних рівнянь. Його докторська дисертація, опублікована в 1961 р. видавництвом Київського університету під назвою «Исследования по теории случайных процессов», цілком присвячена теорії стохастичних диференціальних рівнянь. Якщо Й.І.Гіхман та К.Іто будували розв’язки стохастичних диференціальних рівнянь методом послідовних наближень, стартуючи з заданих коефіцієнтів та заданого вінерового процесу (а також пуассонової міри, або ж деякого мартингального поля, як це було у Й.І.Гіхмана), то А.В.Скороход запропонував новий підхід, який грунтується на принципі компактності мір, що відповідають випадковим процесам. Це разом з винайденим ним раніше методом одного ймовірнісного простору дозволило йому сконструювати розв’язки рівнянь за значно ширших умов на їх коефіцієнти: вони мали бути лише неперервними функціями замість (локальної) умови Ліпшиця по просторовій змінній в теорії Й.І.Гіхмана та К.Іто. Взагалі, згадана вище монографія А.В.Скорохода надзвичайно багата новими підходами та ідеями: тут знаходимо і теорему порівняння розв’язків пари стохастичних диференціальних рівнянь, і теорему єдиності розв’язку (в одновимірному випадку) за умов, значно слабкіших, ніж вже згадана умова Ліпшиця, і теорему про абсолютну неперервність мір, що відповідають розв’язкам пари стохастичних диференціальних рівнянь, і теорему про зображення послідовності сум незалежних випадкових величин значеннями вінерового процесу, і низку граничних теорем для процесів Маркова (з використанням введеної ним раніше топології в просторі функцій без розривів 2-го роду). Крім того, А.В.Скороход був піонером у створенні теорії стохастичних диференціальних рівнянь для процесів в областях з границями. Ці його роботи стимулювали цілу низку надзвичайно цікавих досліджень в різних ймовірнісних центрах світу, таких як США (Струк та Варадан), Японія (Ікеда, Ватанабе) та ін.

За насиченістю новими підходами та ідеями роботи А.В.Скорохода з теорії стохастичних диференціальних рівнянь набагато випередили час. Це був справжній «київський прорив» в розвитку математики середини 20-го сторіччя.

Таким чином, на початку 60-х років зусиллями Й.І.Гіхмана та (під його впливом) А.В.Скорохода українська ймовірнісна школа зайняла позиції світового лідера в розвитку теорії стохастичних диференціальних рівнянь - теорії, яка стала одним з найзначніших надбань всієї математики другої половини 20-го сторіччя.

Підсумок цьому першому етапові розвитку теорії стохастичних диференціальних рівнянь Й.І.Гіхман та А.В.Скороход підвели в монографії «Стохастические дифференциальные уравнения», виданій в 1968 р. київським видавництвом «Наукова думка». Ця монографія була перекладена в 1971 р. німецькою, а в 1972 р. - англійською мовами.

Потім були і інші монографії. І вся ця напружена наукова робота супроводжувалась педагогічною діяльністю. Думаю, що кропітка робота по складанню генеалогічного дерева наукових нащадків Й.І.Гіхмана має ще знайти свого ентузіаста. Я ж лише нагадаю тут, що своїм вчителем (та другом) його називає А.В.Скороход (див. Передмову в книзі А.В.Скорохода «Асимптотические методы теории стохастических дифференциальных уравнений». // Наукова думка, Київ, 1987).

Зауважу насамкінець, що наукова діяльність Й.І.Гіхмана не зводилась лише до теорії стохастичних диференціальних рівнянь: свого часу він вважався провідним експертом в галузі математичної статистики, теорії інформації та ін. Однак головним результатом його наукової діяльності було, на мій погляд, створення теорії стохастичних диференціальних рівнянь та заохочення до роботи в цій галузі А.В.Скорохода.

Думаю, що всі, хто мав щастя навчатись у Йосипа Ілліча, або ж працювати разом з ним, несуть в своїх серцях світлий образ цієї Людини.

Микола Портенко, професор